挣 1000 万，真地比中 1000 万难太多了吗？
如果按照某团骑手的目标工资 1w/month 的水平来看的话，不考虑通胀、不考虑意外、不考虑衰老、不买房至多可以在 1000/12≈83 年内可以实现。
这已经大大超过为祖国健康奋斗五十年的期限，看样子是不太可能实现的目标。
那买彩票可以吗？比如中国体育彩票。我们今天就来我们算一算。
大乐透模型搭建与分析
大乐透的中奖概率分析
以中国足彩官网超级大乐透的第一大奖为例，可以看到，单注奖金高达一千万，根据规则一注 1 元。目前总销售额接近 3 亿元，滚动奖金总共 8 亿元。因此，我们可以简单假定中奖概率为一亿分之一，也就是1e-8，而赔率为一千万。
大乐透的投资模型搭建
我们首先搭建一个投资回报模型。
记每一笔赌注需要花费 1 元，一笔赌注的胜率为$p$，则失败的概率为$1-p$，赌赢的收益率为$q$，赌输的收益率为$r$。因此，对于大乐透头奖来说，有以下模型变量：$p=1e-8,\ q=1e7,\ r=-1$。
此外，我们记自己的本金为$a_0$，其中用于购买彩票的比率为$k, \ (a_0*k < 1 / p)$。显然，在不考虑注上限、游戏是公平的情况下，我们每一次决策的结果有两种可能。
- 若中奖，我们的本金变成 $a_0*(1-k)+q$。
- 若没有中奖，我们的本金变成 $a_0*(1-k)$。
考虑到目前的人均收入水平，我们简单假设每个人的本金是 10w，则该模型可简化为：
- 若中奖，我们的本金变成 $10*(1-k)+1000$。
- 若没有中奖，我们的本金变成 $10*(1-k)$。
显然，在这个模型里，若 k 不等于 0，则最小为$1e-5$，也就是十万分之一。
我们每个人都要思考几个问题：
- 你会购买至少一注大乐透吗？用大概率会浪费的 N 元，去博取 1000w？
- 你会长时间的购买 N 注大乐透吗？为什么？
大乐透的投资模型分析（一）：按比率投资模型
我们首先考虑按比率投资模型，也就是说，张三本金$a_0=10$万，工作收入与支出完全平衡，每天按照一定比率$k$购买大乐透彩票，持之以恒，夜以继日。求其能中一千万的概率。
那么，对于第一次能中的概率，即为$a_0pk$，其中$a_0$是本金，$p$是每一注中奖的概率，大乐透头奖概率为$1e-8$，$k$为支付比率，$10k$得到最终的以元为单位的价值，不考虑小数。我们可以很容易列出每一次投资时的状态。
| 投资次数 | 投资前本金 | 累计获胜概率 |
|---|---|---|
| 1 | $a_0$ | $a_0kp$ |
| 2 | $a_0*(1-k)$ | $a_0kp + a_0(1-k)kp$ $=a_0kp[1+(1-k)]$ |
| 3 | $a_0*(1-k)^2$ | $a_0kp*[1+(1-k)+(1-k)^2]$ |
| i | $a_0*(1-k)^{i-1}$ | $a_0kp*\frac{1-(1-k)^i}{k}$ |
当然了，由于$\lim\limits_{i\to+\infty}{a_0kp\frac{1-(1-k)^i}{k}}=a_op$，所以若无限投资下去，概率就等于本金乘以每一注中奖的概率，emmm，所以若想自己中奖的期望概率能够达到百分之百，得首先有……有一千万。
于是，能不能通过中奖得到一千万，从概率上几乎等价于能不能通过自己挣到一千万。。。。
惊不惊喜，意不意外？
大乐透的投资模型分析（二）：按固定投资模型
我们接着考虑按固定投资模型，也就是说，张三本金$a_0=10$万，工作收入与支出完全平衡，每天按照固定的金额购买大乐透彩票，持之以恒，夜以继日。求其能中一千万的概率。
考虑到，按照大多数人的风险偏好，一般只会顺手买一注，毕竟买一注和买两注本质上没啥差别，但今天一下亏两注绝对不如每天只亏一注心理负担来的小。但便于方程求解，我们还是设置一个固定常量，记为$c$，表示每天的购买支出，于是每天中奖的概率都是$c*p$，雷打不动。
显然，这就是一个典型的伯努利试验，我们知道它的期望成功概率就等于$ncp$，让其等于 1，则立即得到$n*c=\frac{1}{p}$，即所有付出的投资总和需要与最终奖金相同。。。
于是，能不能通过中奖得到一千万，从概率上几乎还是等价于能不能通过自己挣到一千万。。。。
惊不还惊喜，意不还意外？
大乐透投资模型（白努力模型）总结
其实无论是采用按比率投资的方式，还是按固定投资的方式，之所以最后我们算出来期望中奖概率为 1 时所需要的资金正好等于奖金额度，其本质就在于因为它每一次都是一个平等的伯努利实验，只不过我们按天划分，做了一些伪装而已。
如果你觉得我们的模型结论让你觉得意料之中又情理之中，那恭喜你，成功地被我们绕进去了。
但为了更好地回答大乐透，以及由此衍生的一切赌注模型，我们先从另一个案例说起。
另一种看起来简单点的赌注模型
假设你有 100 万，面临一个赌注，50%概率能赢，获得三倍，50%会输，你会如何抉择？
先给你十秒钟思考。
基于风险偏好的不确定性投资
我猜大多数人都会基于自己的风险偏好去决定这笔赌注。
具体来说，假如我们把一个人的资金分成几个部分：生活必需资金（10 万）、发展必需资金（80 万）、可投资资金（10 万）。
那么面临这样的一个赌注，如果这个人风险偏好非常高，他可能就会把全部 10 万都投进入；反之，则可能不会参与如此高风险的赌注。
每个人心里都有自己的一种考虑，因此这道题是无解的。
但学过概率论与一定经济学原理的我们，不妨换个角度想想，我们每次要做一个决定时，依据究竟是什么。
诚然，大多数生活中的决策，都是依据于目标收益和短期融资需求，在大多数情况下，一旦某个赌注目标收益很高，而自己的短期融资需求也同样很高，那么他选择铤而走险的概率就很大了。由于生活中不存在明确的投资产生回报的概率，这是最典型一种决策依据。
但如果我们知道概率呢？就如同之前的彩票问题一样。那么借助于概率统计的角度去思考，应该是第一思考方式了。
我们据此想想，这样的模型，基于概率统计，我们能够有哪些种决策依据，换句话说，我们的投资目标是什么。
基于目标收益的确定性投资
如果我们的投资目标就是为了获得收益，无视风险，那就把所有的钱都砸进去好了。反之，如果我们的目标就是为了规避风险，那么我们应该坚决不参与本次赌注。还有另外一种，比较现实的投资目标：跑赢通胀。简单来说，他的目标收益就是 10%，那么我们来算一下，如果是这样的一个目标，他应该投多少。
显然，如果一个人的投资目标是 10%，他应该想表达的是，他的期望收益是 10%，于是我们很容易得到以下的方程：
$0.5 (100-x+3x) + 0.5(100-x) = 100 * (1+0.1)$
答案很简单，$x=20$，即若该投资者从 100 万中取出 20 万参与该赌注，则能获得 10%（即 10 万）的目标收益。
在大多数情况下，基于一个固定的目标收益，去决定一项投资是否参与，属于比较靠谱的一种投资思维。
但也许并不够好。
假设该笔赌注是固定的，你可以参与无限多次，这个时候你再审视一下自己基于目标收益的投资理念是否靠谱？答：靠谱。因为每次就盯着 10%的目标收益不变，无论执行多少次，这个策略是完全 make sense 的。
基于此，我们使用程序的手段，看看，如果我们把该赌注重复执行 N 次看看最终我们能赚多少钱。
首先，显然，我们很容易得到，如果我们的目标收益固定，例如$E=10$，则必有每次投入的资金比率为$K=2*E=20\%$。
因此，我们可以使用程序模拟如下的场景：固定的本金（100 万），11 个人，每次投入的本金比率不同（从 0%到 100%，步长为 10%），每个人连续赌十次，看看最终大家的收益水平如何。（显然，0%的哥们最终依旧是 100 万不变）
我们编写程序模拟该过程。
import random
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'STHeiti'] #显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
A = 100 # 本金（单位：万）
P = 0.5 # 中奖概率
R = 3 # 中奖赔率
T = 11 # 参与者个数
LU = 1 # 10的指数上限
LD = 0 # 10的指数下限
N = 10 # 赌注次数
def simulate_by_ratio(k):
cur_asset = A
assets = [cur_asset]
for day in range(N):
pay = cur_asset * k
cur_asset -= pay
if random.random() < P:
cur_asset += pay * R
assets.append(cur_asset)
return assets
arr = [simulate_by_ratio(k) for k in np.linspace(LD, LU, T)]
data = pd.DataFrame(arr).T
data.columns = ['{: 3d}%'.format(int(100*k)) for k in np.linspace(LD, LU, T)]
title = f'本金:{A}, 中奖概率: {P}, 中奖赔率: {R}, 赌注次数: {N}, 参与者：{T}'
ax = sns.relplot(data=data, kind='line', dashes=False).set(title=title)
ax._legend.set_title('投资比率')
plt.show()
得到结果如下。
可以看到，整体来说，大多数人的收益波动都比较明显，整体还是呈现较好的预期，毕竟这个赌注的期望收益是正的。
但我们依旧难以确定一个最佳的投资目标。因此，新的维度需要引入。
基于长期最大期望收益的确定性投资
其实当我们设定了一个目标收益之后，我们不但可以使用程序随机模拟出重复执行该策略 N 次的结果，我们还可以算出他们的期望。如果我们基于目标收益的最大长期期望进行赌注，那从统计角度来说，我们的策略就更加地稳健。
易知，对于第$i$次以$k$比率的赌注，我们的预期收益将是$E = [0.5 A(1-k+3k) + 0.5 A(1-k)] / A = 1 + k /2$.
但如果以这样的方式顺推计算，我们将会得到长期预期收益将为$E^N=(1+k/2)^N$，这是这个指数函数，显然不具有实际意义。
重新考虑。对于每一次赌注，我们可能赢，也可能输，而在 N 次赌注后，我们最终的收益水平将是$\bar{E} = A(1+2k)^S(1-k)^F$，其中$S$表示成功的次数，$F$表示失败的次数。那么显然，这个函数就有点像经济学中类似道格拉斯函数的存在了。
我们稍微整理一下，略去常量$A$，替换$S=Np, F=N(1-p)$，则有$f(k)=(1+2k)^{N/2}(1-k)^{N/2}$，接着对其对数求导，则有$ln(f(k))=N/2ln(1+2k)(1-k)$，显然，当$(1+2k)(1-k)$最大时$f(k)$最大，立即得$k=[-1/2+1]/2=1/4$。
所以，按照长期最大期望收益的目标，我们每一次的投资比率是 25%。
为了验证这一投资比率的有效性，我们再次使用蒙特卡洛模拟，运行十次，查看其运行的整体情况。
可以看到，整体效果还是很不错的，只有极个别案例出现了低于 100 的净值，大多数都有非常不错的表现，超过五倍收益的达到了 40%，这是相当耀眼的成绩。
一定程度上，这个长期最大收益的目标，的确很好地平衡了收益与风险，基于此，我们推广出其通用公式。
假设一项赌注，赢率为$p$，则输率为$1-p$。假设赢后收益率为$q$，输后收益率为$r$，本金为$A$，每一次固定下注比率$k$，重复$N$次，则有
对于第$i$次赌注，若赢，本金变为$ A_i(1-k)+A_ik(1+q)=A_i(1+kq)$；同样地，
对于第$i$次赌注，若输，本金变为$ A_i(1-k)+A_ik(1+r)=A_i(1+kr)$。
显然，对于累积 N 次赌注，必有$A_N = A_0 (1+kq)^S (1+kr)^F$，代入$S = N p, F = N (1-p)$，则有
$A_N = A_0 (1+kq)^{Np} (1+kr)^{N(1-p)}$，对数后得
$ln(A_N) = ln(A_0) + N (pln(1+kq)+(1-p)*ln(1+kr))$，即求
$max\ f(k) = p ln(1+kq) + (1-p) ln(1+kr)$，对其求导，则有
$max f'(k) = \frac{pq}{1+kq} + \frac{(1-p)r}{1+kr}$，显然直接令其等于 0 即可得到函数拐点，即
$（*）\frac{pq}{1+kq} + \frac{(1-p)r}{1+kr}=0$，则有
$（）k=\frac{pq+(1-p)r}{-qr}$，其中分子就等于胜率乘以胜赔率加上输率乘以输赔率，分母则为负的胜率乘以赔率**。
而当$r=-1$时，则有，
$（***）k=\frac{p(q+1)-1}{q}$
我们验证一下，上一题中$p=1/2,\ q=2,\ r=-1$，（赌一赢三，收益率$q$为 2；全光，收益率为-1）
则有$k=\frac{1/22+1/2(-1)}{2}=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}$，完全一致。
这，就是大名鼎鼎的凯利公式！
使用凯利公式重买大乐透
在概率论中，凯利公式（Kelly formula），也称凯利方程式，是一个用以使特定赌局中，拥有正期望值之重复行为长期增长率最大化的公式。
它由约翰·拉里·凯利（John Larry Kelly, Jr.）于 1956 年在《贝尔系统技术期刊》中发表，可用以计算出每次游戏中应投注的资金比例。(约翰·拉里·凯利 1923 年出生于美国德克萨斯州科西卡纳，1965 年逝世于纽约市，是一位在贝尔实验室工作的美国科学家）
当我们使用凯利公式时，我们清楚地明白，我们要做的事就是根据凯利公式，实现长期某项重复确定性概率投资的最终收益率最大化。而彩票明显符合这种特性。
回顾大乐透的一些基本变量，胜率$p=1e-8$，赔率$q=1e7$，那么显然有$k=\frac{p*(q+1)-1}{q}=\frac{(1e-8)(1e7+1)}{1e7}=1e-8$。
这意味着，如果你的身家没有一亿，那么哪怕赔率是一千万的大乐透，也不值得你花一块钱去购买它。
由此来看，比起中一千万，还是挣一千万来的更容易。
大喊一声：为祖国健康奋斗五十年，上路吧，兄弟姐们！上路吧，我的小蓝车和你的小黄车！
