一道“全军覆灭”的数学题

一道“全军覆灭”的数学题

请问如下解法是否正确？

今天研友“北化”在群里转了一道题，给了一个解法，询问对否。

我认为是对的，但 chen 姐认为不对，后来经 chen 姐提点，我也意识到了确实不对。

然后我转给朋友们，结果他们都认为对。

我继续向他们解释，他们依旧认为自己是对的……

该解法的错误原因

在众多参考书上，积分中值定理的结论，都是“存在一点，使之成立”，但是并未明确指出该点到底是哪一点。

这就带来了一定的困扰，例如本题，解法中存在一点，处于 0 到 1 之间，它的 n 次方（$n\to +\infty$时）确实是 0，所以一顿解下来，好像无比顺畅。

然而，问题就出在这个点上！

如果这个点是$(0, 1)$上的一个常数，那必有

$$ \lim_{n\to\infty}{a}^n = 0, a\in(0,1) $$

但如果这个点不是常数，而是一个函数，尤其是，是一个关于 n 的函数，就不一定了。比如：

$$ \lim_{n\to\infty}{(1-\frac{1}{n})}^n = \frac{1}{e}\ne0 $$

所以，根据 chen 姐的指点，使用积分中值定理时，一定要尤其注意，点是常数还是函数！这点，在绝大多数题目中都不曾涉及，但 chen 姐毕竟是 T 大数学科班，基础功着实扎实，令人羡慕。

你学废了嘛~

该题的正确解法

说实话……还是挺难的。

不过核心不是拉格朗日，而是放缩。

再举一例考研教材需要背锅的题

这一题，最有意思的地方，是它的考察对象是不可逆矩阵的伴随矩阵，而绝大多数教材都只探讨了可逆矩阵的伴随矩阵的兴致，比如：

$$ \begin{align} &若A可逆，其特征值为\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3，则有：\ &A^的特征值为\frac{|A|}{\lambda_1},\frac{|A|}{\lambda_2},\frac{|A|}{\lambda_3} \end{align*} $$

我翻了李正元的全书，在矩阵和向量组两章内的探讨基本都止步于此，没有什么证明，也绝没有探讨到不可逆矩阵的伴随矩阵的特征值分析。

接下来给出本题的特征值求法：

可以看到，是用相似定义化对角矩阵去求的，不过这种求法，不是通法，毕竟该题规定了 A 是实对称矩阵。

但是很容易可以看到，在解最后一个对角矩阵时，每一个特征值都是由另外两个特征值乘积得到的。

于是乎，我们不妨假想：

$$ \begin{align} &对于可逆或不可逆矩阵A，其特征值分别为\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3，\ &则有，A^的特征值为\lambda2 \lambda_3, \lambda_3\lambda_1, \lambda_1 \lambda_2，\ &而当A可逆时，则正好有\frac{|A|}{\lambda_1},\frac{|A|}{\lambda_2},\frac{|A|}{\lambda_3}，因为|A| = \lambda_1 \times \lambda_2 \times \lambda_3\ &而当A不可逆时，由于|A|=0，无法基于|A|除以各\lambda_i得到A的特征值，\ & 但\prod{j\ne i}^{n}{\lambda_j}依旧可用 \end{align*} $$

是否对每个矩阵，甚至对于 N 阶矩阵都有这样的性质呢？我不知道，不敢断言，我只知道，考研教材很多时候都只是把精华喂给你，至于怎么来的，就需要自己琢磨了，因此基本功非常重要。对于所有考研数学的人来说，至少预留给数学 3 个月以上的时间，绝对是不夸张的，如果你想考高分的话。